Eliminasi Gauss, Gauss Jordan

Eliminasi Gauss

Penjelasan

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Kelebihan dan Kekurangan

Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap

Keuntungan :

-          menentukan apakah sistem konsisten

-          menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka

-          ebih mudah untuk memecahkan

kelemahan :

-          memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal

Contoh Soal :

Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

1      2       1           6

1       3     2         9

2       1     2        12

Operasikan Matriks nya:

1     2     1     6

0     1     1     3

2     1     2     1                 Baris ke-2 dikurangi baris ke-1

 

1     2     1    6

0     1     1     3

0    -3     0     0                 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1

 

1     1    1     6

0     1     1    3

0     0     3    9                   Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2

 

1     2    1     6

0     1    1     3

0    0    1      3                   Baris ke-3 dibagi dengan 3

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6

y + z = 3

z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3

y + 3 = 3

y = 0

x + 2y + z = 6

x + 0 + 3 = 6

x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Eliminasi Gauss-Jordan

Penjelasan

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.

Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form).

Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat

Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas.

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks

   A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-

koefisien dari sistem persamaan linier..

Sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

1.Menukar posisi dari 2 baris.

Ai ↔A_j

2.Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.

Ai = k*A_j

3.Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:

1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :

Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan

4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n

Kelebihan dan Keuntungan :

Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan matriks invers

Contoh soal:

1.      Diketahui persamaan linear

x + 2y + 3z = 3

2x + 3y + 2z = 3

2x + y + 2z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

1     2     3    3

0    -1   -4   -3

0    -3   -4   -1       Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1

1     2    3    3

0    -1   -4   -4

0     0    8    8       Baris ke-3 dikurangi 3 kali baris ke-2

1     2     3     3

0     1     4     3

0     0     1     1     Baris ke-3 dibagi 8 dan baris ke-2 dibagi -1

1     2     3     3

0     1     0    -1

0     0     1     1     Baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-3

1     2     0    0

0     1     0   -1

0     0     1    1       Baris ke-1 dikurangi 3 kali baris ke-3

1     0     0     2

0     1     0    -1

0         0      1     1

Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke

Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

2.      A  =   3   1 

                    5   2     Tentukan Nilai dari A^-1 ?

Jawab:

A-1 =                1               2            -1

                (3)(2) – (5)(1)       -5           3

    

     =           1               2      -1

                6 - 5            -5     3

=   1         2     -1

     1         -5     3

 

=     2     -1

        -5    3

Eliminasi Gauss-Seidel

Penjelasan

Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah-ubah. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier .

Rumus dari metode eliminasi Gauss-Seidel :

 

X_i ^(k) =   1        b_i - ∑ a_iix_j^(k) -  ∑ a_iiX_j^(k-1)      , I = 1,2,3,4,……n

                a_ii

Kekurangan dan Kelebihan

Metode eliminasi gauss-seidel digunakan untuk menyelesaikan SPL yg berukuran kecil karena metode ini lebih efisien. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.

Kelemahan dari metode ini adalah masalah pivot (titik tengah) yang harus benar–benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.

Contoh Soal,

10 x ₁ - x ₂ + ₂ x ₃ = 6,

- X ₁ + 11 x ₂ - x ₃ + 3 x ₄ = 25,

2 x ₁ - x ₂ + 10 x ₃ - x ₄ = - 11,

3 x ₂ - x ₃ + 8 x ₄ = 15.

Pecahkan nilai di atas menjadi x1,x2,x3,x4

x ₁ = x ₂ / 10 - x ₃ / 5 + ₃ / 5,

x ₂ = x ₁ / 11 + x ₃ / 11 - 3 x ₄ / 11 + 25 / 11,

x ₃ = - x ₁ / 5 + x ₂ / 10 + x ₄ / 10-11 / 10,

x ₄ = - 3 x ₂ / 8 + x ₃ / 8 + 15 / 8.

Nilai pendekatan awal (0,0,0,0) 

x ₁ = 3 / 5 = 0.6,

x ₂ = (3 / 5) / 11 + 25/11 = 3 / 55 + 25/11 = 2,3272,

x ₃ = - (3 / 5) / 5 + (2,3272) / 10 - 11 / 10 = - 3 / 25 + 0,23272-1,1 = - 0,9873,

x ₄ = - 3 (2,3272) / 8 + (- 0,9873) / 8 + 15 / 8 = 0,8789.

Dihasilkan iterasi 4 buah :

X1	X2	X3	X4
0,6	2,327	-0,987	0,878
1,03	2,036	-1,014	0,983
1,006	2,003	- 1,002	0.998
1	2	-1	0,999

Selisih maju

Penjelasan

Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi differensial, yang dituliskan :

F’(x) =  f (x + h) – f (x)

                     H

Atau :

F’ (x) =    f1 – f0

                   H

Kelebihan dan kelemahan

Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil. Error metode selisih maju sebesar :

E(f) = -1/2 hf” (x)

Contoh soal :

Hitung nilai nilai turunan f(x)=x2 , pada x0 =2, dan x1 =2.01, dengan h=0.1

Jawab :

F’ (x) =    f1 – f0

                   h

F(2) =  f (2.1) – f (2)

                    0.1

F (2) =   4,41 – 4

                 0,1

        =   4,1

Hitung nilai turunan dari f(x) = x2, pada x0 = 2, dan x1 = 2,0001, dengan h = 0,0001

F(2) = f (2,0001) – f(2)

                  0,0001

F(2) = 4,00040001-4

                0,0001

F(2) = 4,0001 x 10 -4

               0,0001

       = 4,0001

Selisih mundur

Penjelasan

Selisih mundur hampir sama dengan selisih maju, terdapat perbedaan nya pada turunan pertama, karena ini merupakan selisih mundur maka f₀-f_-1. Metode selisih mundur dengan nilai x pada x0 dan x-h, dengan nilai dua titik : (x_-1, f_-1) dan (x₀,f₀), maka f’(x₀)

F’(x) =  f (x + h) – f (x)

                     H

Atau :

F’ (x) =    f₀ – f_-1

                   H

Kelebihan dan kelemahan

Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil. Error metode selisih maju sebesar :

E(f) = -1/2 hf” (x)

Karena pada dasar nya metode selisih naju dan selisih mundur sama saja

Contoh soal :

hitung nilai turunan dari f(x)= x2, pada x0=2, dan x_-1= 1,9999, dengan h= 0,1

jawab :

F(2) = f (2) – f(1,9)

                  0,1

F(2) =      4 – 3,61

                  0,1

F(2) =        0,39

                  0,1

        =     3,9

Hitung nilai turunan f(x)= x2, pada x0=2, dan x_-1 = 1,9999, dengan h = 0,0001

F(2) = f (2) – f(1,9)

              0,0001

F(2) = 4 – 3,9999 x 10 ^-4

                   0,0001

        =  3,9999

Selsisih tengahan

Penjelasan

Metode selisih tengah dengan nilai x di x+h dan x-h, dengan nilai dua titik : (x_-1 ,f_-1 ) dan (x₁,f₁), maka f’(x₀ ). Karena h pada metode ini terdapat dua, maka dapat dituliskan sebagai berikut :

F’(x) =  f (x + h) – f (x-h)

                     2H

Atau :

F’(x) =    f₁ – f_-1

                 2H

Kelebihan dan kelemahan

Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil. Error metode selisih maju sebesar :

E(f) = -1/6 hf” (x)

Contoh soal :

hitung nilai turunan dari f(x)= x2, pada x_-1=1,9, dan x_-1= 2,01, dengan h= 0,1

jawab :

F(2) = f (2,1) – f(1,9)

               2*0,1

F(2) = 4,41 – 3,61

                0,2

      =    4

hitung nilai turunan dari f(x)= x2, pada x_-1=1,9999, dan x_-1= 2,0001, dengan h= 0,0001

jawab :

F(2) = f (2,0001) – f(1,9999)

                    2* 0,0001

F(2) = 4,000400041 – 3,99960001

                        2,0001

F(2) = 8 x 10 ^-4

             2 * 10^-4

        ⁼  4